Hai
Readerss, Sebelum kita masuk ke logika matematika, kita harus tahu dulu
definisi logika tersebut yang nantinya sangat berperan dalam pemahaman logika
matematika sendiri. Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang
berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan
dinyatakan dalam bahasa. Logika mempunyai beberapa manfaat, yaitu :
·
Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional,
kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
·
Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
·
Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri.
·
Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas
sistematis
·
Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir,
kekeliruan, serta kesesatan.
·
Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
·
Terhindar dari klenik , gugon-tuhon ( bahasa Jawa )
·
Apabila sudah mampu berpikir rasional,kritis ,lurus,metodis dan analitis
sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri
seseorang.
Setelah
kita mengetahui tentang Logika kita akan lebih mudah dalam mempelajari logika
matematika. Berikut ini hal-hal yang menyangkut logika matematika.
1. Pernyataan
Yang dimaksud dengan
pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi
tidak sekaligus kedua-duanya (benar dan salah). Dan suatu kalimat bukan
pernyataan jika kita tidak dapat menentukan kalimat tersebut benar atau salah
atau mengandung pengertian relatif. Terdapat dua jenis pernyataan matematika
yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan
pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka
yaitu pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti. untuk lebih jelasnya
perhatikan contoh dibawah ini.
adversitemens
contoh :
6×5 = 30 ( pernyataan tertutup
yang benar )
6+5=10 ( pernyataan
tertutup yang salah )
gula putih rasanya manis (
pernyataan terbuka )
Jarak jakarta bandung
adalah dekat ( bukan pernyataan, karena dekat itu relatif )
2. Ingkaran Pernyataan (
negasi )
Ingkaran merupakan
pernyataan yang menyangkal yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat dibentuk
dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar
dinotasikan ~.
contoh :
pernyataan
B
: Sepeda motor beroda dua
negasi pernyataan B : tidak
benar sepeda motor beroda dua
3. Pernyataan Majemuk
3.1. Konjungsi
suatu pernyataan p dan q
dapat digabung dengan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘
p dan q ‘ yang disebut dengn konjungsi nyang dilambangkan dengan
Tabel di atas menunjukan beberapa
pernyataan yang digabungkan menjadi pernyataan majemuk konjungsi.
Jika menemukan suatu
pernyataan, kita pasangkan saja dengan tabel disamping sehingga kita dapat
menemukan bagaimana kalimat majemuk konjungsinya.
3.2. Disjungsi
suatu pernyataan p dan q
dapat digabung dengan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk
‘ p atau q’ yang disebut dengn disjungsi yang dilambangkan dengan
Tabel di atas menunjukan
beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk disjungsi.
sehingga jika kita
menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk disjungsi kita
tinggal lihat tabel, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana
bentuk kalimat majemuk disjungsinya.
3.3. Implikasi
suatu pernyataan p dan q
dapat digabung dengan kata hubung ‘jika maka’ sehingga membentuk pernyataan
majemuk ‘ jikap maka q’ yang disebut dengan implikasi dan dilambangkan dengan
Tabel di atas menunjukan
beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk implikasi.
sehingga jika kita
menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk implikasi kita
tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan
bagaimana bentuk kalimat majemuk implikasinyanya.
3.4. Biimplikasi
suatu pernyataan p dan q
dapat digabung dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk
pernyataan majemuk ‘ p jika dan hanya jika q’ yang disebut dengan biimplikasi
dan dilambangkan dengan
Tabel disamping menunjukan
beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk biimplikasi.
sehingga jika kita
menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk biimplikasi
kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan
menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk biimplikasinyanya. Maka kita akan
lebih mudah dalam menyelesaikan soal yang nanti akan kita hadapi.
4. Ekuivalensi
pernyataan-pernyataan majemuk
Ekuivalensi
dari pernyataan-pernyataan majemuk ini sangat penting. Kita harus tahu bentuk
negasi dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan lain sebagainya dalam
menyelesaikan berbagai bentuk pernyataan yang nantinya akan muncul. Jadi kita
harus hafal bentuk euivalensi pernyataan-pernyataan majemuk disamping. Maka
kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe soal yang nantinya akan
kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan
disamping.
Tidak perlu bingung dan
terbebani, kunci dari matematika adalah hafal rumus dan bisa menggunakannya.
Jika kita sering latihan soal maka secara otomatis kita akan hafal, dan
pastinya kita akan mudah menggunakan rumus tersebut jika diterapkan dalam soal.
5. Konvers, Invers dan
Kontraposisi
Dari sebuah implikasi dapat
diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi
tersebut
6. Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor
merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam yaitu :
6.1 Kuantor Universal
Dalam pernyataan kuantor
universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal
dilambangkan dengan ∀(dibaca untuk semua atau untuk setiap).
contoh : ∀ x ∈ R, x>0 dibaca
untuk setiap x anggota bilangan riil maka berlaku x>0.
6.2 Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan kuantor
eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian,
terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ ( dibaca ada, beberapa,
terdapat, sebagian )
contoh : ∀ x ∈ R, x+5>1 dibaca
terdapat x anggota bilangan riil dimana x+5>1.
7. Ingkaran dari pernyataan
berkuantor
Ingkaran dari pernyataan
berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial, begitu juga
sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan
berkuantor universal.
contoh :
p : beberapa siswa SMA
rajin belajar
~p : semua siswa SMA tidak
rajin belajar
8. Penarikan Kesimpulan
Penarika kesimpulan
dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang
disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh
pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari
premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan
argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka
konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu :
8.1 Modus ponens
premis 1 : p →q
premis 2 : p
( modus
ponens)
__________________
Kesimpulan: q
Arti
Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p,
maka bisa ditarik kesimpulan q“.
sebagai contoh :
premis 1 : Jika bapak
datang maka adik akan senang
premis 2 : bapak datang
__________________
Kesimpulan: Adik senang
8.2 Modus Tollens
premis 1 : p →q
premis 2 : ~q
( modus
tollens)
__________________
Kesimpulan: ~p
Modus
Tollens berarti “jika diketahu p →
q dan ~q, maka bisa
ditarik kesimpulan ~p“. sebagai
contoh :
premis 1 : Jika hari hujan,
maka adik memakai payung
premis 2 : Adik tidak
memakai payung
___________________
Kesimpulan : Hari tidak
hujan
8.3 Silogisme
premis 1 : p→q
premis
2 : q → r (
silogisme)
_________________
Kesimpulan: p →r
Silogisme
berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik
kesimpulan p→r“. sebagai
contoh :
Premis 1 : Jika harga BBM
naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 : Jika harga bahan
pokok naik maka semua orang tidak senang.
__________________________________________________
Kesimpulan: Jika
harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.
Catatan
Tambahan:
Hukum de Morgan:
¬(p Λ q) ≡ (¬p
V ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)
Ekuivalensi implikasi:
(p → q) ≡ (¬p V q)
Mudah-mudahan
paparan Logika Matematika ini
dapat membantu temen-temen semua
Komentar
Posting Komentar